Phép biến đổi affine

Để biểu diễn một biến đổi affine bởi ma trận, chúng ta phải sử dụng tọa độ đồng nhất. Điều này có nghĩa là biểu diễn một vectơ 2 chiều (x, y) như là một vectơ 3-chiều (x, y, 1), và tương tự như vậy cho các chiều cao hơn. Sử dụng hệ thống này, phép xê dịch (translation) có thể được diễn tả bởi phép nhân ma trận. Dạng hàm số x ′ = x + t x {\displaystyle x'=x+t_{x}} ; y ′ = y + t y {\displaystyle y'=y+t_{y}} trở thành:

[ x ′ y ′ 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 t x t y 1 ] [ x y 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\t_{x}&t_{y}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}}

Tất cả các phép biến đổi tuyến tính thông thường có thể được chuyển đổi thành phép biến đổi affine bằng cách mở rộng ma trận biểu diễn thêm 1 hàng và 1 cột, làm đầy khoảng thêm vào bằng 0 ngoại trừ góc dưới bên phải, phải được đặt bằng 1. Ví dụ, ma trận của phép xoay bên trên sẽ trở thành:

[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}

Sử dụng hệ thống này, phép xê dịch có thể trộn lẫn với các loại biến đổi khác, sử dụng phép nhân ma trận như là trước đây. (Điều này xảy ra là do mặt phẳng thực đã được ánh xạ vào mặt phẳng w = một trong không gian chiếu (projective space), và do vậy xê dịch trong không gian thực có thể được biểu diễn bởi một phép trượt trong không gia chiếu projective space.)

Khi sử dụng các biến đổi affine, phần đồng nhất của vectơ tọa độ (thường gọi là w) sẽ không bao giờ thay đổi. Người ta thường giả sử một cách an toàn là nó bằng 1. Tuy vậy, điều này là không đúng khi sử dụng phép chiếu theo tia nhìn (perspective projection).

Phép chiếu theo tia nhìn

(Chiếu Phối Cảnh)

Một loại biến đổi khác, khá quan trọng trong đồ họa máy tính trong 3 chiều, là phép chiếu theo tia nhìn. Trong khi những phép chiếu song song được sử dụng để chiếu các điểm vào một mặt phẳng chứa ảnh dọc theo các đường song song, phép chiếu theo tia nhìn chiếu các điểm vào mặt phẳng chứa ánh theo các đường thẳng phát ra từ một điểm, gọi là trung tâm của phép chiếu. Điều này nghĩa là một vật sẽ có hình chiếu nhỏ hơn khi nó nằm xa trung tâm của phép chiếu và có ảnh lớn hơn khi nó gần trung tâm của phép chiếu hơn.

Phép chiếu theo tia nhìn sử dụng gốc tọa độ như là trung tâm của phép chiếu, và z = 1 như là mặt phẳng chứa ảnh. Dạng hàm số của phép biến đổi này là x ′ = x / z {\displaystyle x'=x/z} ; y ′ = y / z {\displaystyle y'=y/z} . Chúng ta có thể biểu diễn trong tọa độ đồng nhất bởi:

[ x c y c z c w c ] = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 ] [ x y z 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}

(Kết quả sau khi tiến hành phép nhân này là ( x c , y c , z c , w c ) {\displaystyle (x_{c},y_{c},z_{c},w_{c})} = ( x , y , z , z ) {\displaystyle (x,y,z,z)} .)

Sau khi tiến hành phép nhân ma trận, phần tử đồng nhất wc sẽ, nhìn chung, là không bằng 1. Do vậy, để đưa về lại mặt phẳng thực chúng ta phải làm một phép chia đồng nhất, nghĩa là chia mỗi thành phần bởi wc:

[ x ′ y ′ z ′ ] = [ x c / w c y c / w c z c / w c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{c}/w_{c}\\y_{c}/w_{c}\\z_{c}/w_{c}\end{bmatrix}}}

Các phép chiếu theo tia nhìn phức tạp hơn có thể được tạo thành bằng cách bao gồm phép này với phép xoay, tỉ lệ, xê dịch, và trượt để di chuyển mặt phẳng chứa ảnh và trung tâm của phép chiếu đến bất cứ nơi nào mà chúng cần thiết.